# Kiedy graf ma cykl Hamiltona?
## Wprowadzenie
Grafy są powszechnie stosowane w matematyce i informatyce do reprezentowania relacji między różnymi obiektami. Jednym z ważnych problemów związanych z grafami jest pytanie, czy dany graf ma cykl Hamiltona. W tym artykule przyjrzymy się temu problemowi i dowiemy się, kiedy graf może mieć cykl Hamiltona.
## Czym jest cykl Hamiltona?
### H1: Definicja cyklu Hamiltona
Cykl Hamiltona w grafie to taki cykl, który przechodzi przez każdy wierzchołek grafu dokładnie raz i wraca do wierzchołka początkowego.
### H2: Przykład cyklu Hamiltona
Przyjrzyjmy się prostemu przykładowi. Mamy graf o czterech wierzchołkach: A, B, C i D. Cykl Hamiltona w tym grafie może wyglądać następująco: A -> B -> C -> D -> A.
## Warunki konieczne dla istnienia cyklu Hamiltona
### H3: Warunek 1: Stopień wierzchołka
Aby graf miał cykl Hamiltona, każdy wierzchołek musi mieć stopień co najmniej 2.
### H3: Warunek 2: Warunek Diraca
Warunek Diraca mówi, że jeśli graf ma n wierzchołków, gdzie n > 2, i jeśli dla każdego wierzchołka stopień wynosi co najmniej n/2, to graf ma cykl Hamiltona.
## Warunki wystarczające dla istnienia cyklu Hamiltona
### H3: Warunek 3: Warunek Ore’a
Warunek Ore’a mówi, że jeśli dla każdej pary wierzchołków, które nie są połączone krawędzią, suma ich stopni wynosi co najmniej n, gdzie n to liczba wierzchołków, to graf ma cykl Hamiltona.
### H3: Warunek 4: Warunek Diraca dla grafów dwudzielnych
Jeśli graf jest dwudzielny i każdy wierzchołek ma stopień co najmniej n/2, gdzie n to liczba wierzchołków, to graf ma cykl Hamiltona.
## Przykłady grafów z cyklem Hamiltona
### H4: Przykład 1: Graf pełny
Graf pełny, czyli graf, w którym każdy wierzchołek jest połączony z każdym innym wierzchołkiem, zawsze ma cykl Hamiltona.
### H4: Przykład 2: Graf dwudzielny
Graf dwudzielny, w którym wierzchołki można podzielić na dwie grupy, gdzie każdy wierzchołek z jednej grupy jest połączony z każdym wierzchołkiem z drugiej grupy, również ma cykl Hamiltona.
## Przykłady grafów bez cyklu Hamiltona
### H4: Przykład 1: Graf ścieżkowy
Graf ścieżkowy, czyli graf, w którym wierzchołki są połączone w jedną linię, nie ma cyklu Hamiltona.
### H4: Przykład 2: Graf cykliczny
Graf cykliczny, czyli graf, który składa się z jednego cyklu, również nie ma cyklu Hamiltona.
## Podsumowanie
W tym artykule przyjrzeliśmy się problemowi istnienia cyklu Hamiltona w grafach. Dowiedzieliśmy się, że istnieją warunki konieczne i wystarczające dla istnienia cyklu Hamiltona. Przykłady grafów z i bez cyklu Hamiltona pokazały nam, jak te warunki działają w praktyce. Grafy pełne i grafy dwudzielne zawsze mają cykl Hamiltona, podczas gdy grafy ścieżkowe i grafy cykliczne go nie mają. Zrozumienie tych warunków może pomóc nam w rozwiązywaniu problemów związanych z grafami i analizie ich struktury.
Wezwanie do działania:
Sprawdź, czy graf posiada cykl Hamiltona!
Link do strony: https://www.weuropie.pl/
